16. Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление интегралов.
Для вычисления определенных интегралов 
Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование
11. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
Пусть ф-я f(x) является бесконечно диффериенцируемой, тогда этой ф-и можно поставить в соответствие ряд
Когда x0≠0, то 
В интервале сходимости (-R;R) сумма этого ряда S(x), но не всегда f(x)=S(x).
Если ряд сходится, то его можно представить в виде Sn(x)+rn(x) Pn(x)+Rn(x) и Sn(x)=Pn(x), значит rn(x)=Rn(x) иначе не равны.
Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (4) к f(x) является условие 
– форма Пеано.
6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Теорема1. Если знакопеременный ряд 
таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов 
сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно или не абсолютно сходящимся рядом.
1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
Если существует конечный предел 
, то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.
Геометрическая прогрессия: 
;
Если 
;
Если 
ряд расходится;
Если 
, то есть ряд расходится;
Если 
ряд расходится.
Теорема1: Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.
Теорема2: Если ряд 
сходится и его сумма равна S, то ряд 
, где с – какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна сS.
Теорема3: Если ряды 
и 
сходятся и их суммы соответственно равны Sa и Sb, то ряды 
и 
тоже сходятся и их суммы соответственно равны Sa+Sb и Sa-Sb.
Необходимый признак сходимости ряда:
Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.
Доказательство: Пусть ряд 
сходится, то есть имеет место равенство 
. Но тогда имеет место также равенство 
, так как при 
и 
. Вычитая почленно из первого равенства второе получаем 
или 
, но 
. Следовательно, 
, что и требовалось доказать.