ФИТР БНТУ – Портал Студентов

8. Экспериментальное  обоснование  основных  идей  квантовой механики

Линейчатые спектры атомов. Правило  частот Бора. Принцип соответствия. Опыт Франка и Герца. Опыт Штерна и Герлаха. Эффект Зеемана. Эффект Штарка.

Модели атома Томсона и Резерфорда

Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой модели, атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка 10м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны; суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом в целом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Э. Резерфорда по рассеянию частиц в веществе. Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положительно заряженными частицами с зарядом 2e и массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Пучки частиц обладают высокой монохроматичностью.

И – источник частиц

Ф – тонкая фольга

Э – полупрозрачный экран, покрытый сульфидом цинка

М –  микроскоп, с помощью которого наблюдаются вспышки света в местах попадания частиц на экран

Резерфорд, исследуя прохождение частиц в веществе, показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые частицы (приметно 1 из 20000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже ). Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие частицы; следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.

На основании своих исследований Резерфорд в 1911г. предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева, e – элементарный заряд), размер м и массу, практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т.е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.

Предположим, электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r. При этом кулоновская сила взаимодействия между ядром и электроном сообщает электрону центростремительное ускорение . Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновской силы, имеет вид

,

где и масса и скорость электрона на орбите радиуса r, электрическая постоянная.

               Данное уравнение содержит два неизвестных: r и v. Следовательно, существует множество значений радиуса и соответствующих значений скорости, удовлетворяющих этому уравнению. Согласно классической электрдинамике, ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и в следствии этого непрерывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что противоречит действительности.

               Попытки Томсона и Резерфорда построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху. Преодоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой – квантовой – теории атома.

Линейчатый спектр атома водорода

Исследования спектров излучения разреженных газов (т. е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий. Самым изученным является спектр наиболее простого атома — атома водорода.

Швейцарский ученый И. Бальмер (1825—1898) подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:

где  постоянная Ридберга. Так как , то формула может быть переписана для частот:

,

где .

Из выше приведенных выражений вытекает, что спектральные линии, отличающиеся различными значениями  n, образуют группу или серию линий, называемую серией Бальмера. С увеличением n линии серии сближаются; значение n=∞ определяет границу серии, к которой со стороны больших частот примыкает сплошной спектр.

В дальнейшем в спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий. В ултрофиолетовой области спектра находится серия Лаймена:

.

В инфракрасной области спектра были также обнаружены:

       Серия Пашена        

       Серия Брэкета        

Серия Пфунда        

Серия Хэмфриё        

Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера:

где m имеет в каждой данной серии постоянное значение, m=1,2,3,4,5,6 (определяет серию), n принимает целочисленное значение, начиная с m+1 (определяет отдельные линии этой серии).

Исследование более сложных спектров – спектров паров щелочных металлов – показало, что они представляются набором незакономерно распололженных линий.

Постулаты Бора

Первая попытка построить качественно новую – квантовую – теорию атома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором. Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и погло­щения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояния): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

где — масса электрона,  v — его скорость по n-ой орбите радиуса

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний ( и — соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)). При происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удален­ной от ядра орбиты на более близлежащую), при— его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Принцип соответствия

Квантованные значения Wn называются уровнями энергии, а числа n, определяю­щие энергетические уровни электрона, – квантовыми числами.

Таким образом, электрон в потенциаль­ном «ящике» может находиться на опреде­ленном энергетическом уровне Wn. Иногда говорят, что он находится в определенном квантовом состоянии n.

Для потенциального «ящика» с разме­рами, соизмеримыми с размерами атома м, собственные значения энергии электрона образуют последовательность энергетических уровней, «расстояние» меж­ду которыми

В потенциальном «ящике» макроскопи­ческих размеров L=

м соседние энер­гетические уровни

и

отличаются друг от друга на

.

Энергетические уровни в этом случае расположены столь тесно, что можно их считать как бы квазинепрерывными. Для такого потенциального «ящика» квантова­ние энергии дает результаты, не столь су­щественно отличающиеся от результатов классической физики, как в случае «ящика» атомного размера. Заметим, что = 0 при, т. е. энергетический спектр непре­рывен.

Рассмотрим влияние квантового числа п на характер расположения энергетиче­ских уровней электрона в потенциальном «ящике». Для этого сопоставим

где с энергией Wn электрона, находящегося на уровне п. Найдем отошение, ис­пользуя формулу  

       Из этого видно, что при увеличении квантового числа n, когда , становится малой по сравнению с , т. е. происходит относительное сближе­ние энергетических уровней. При больших квантовых числах п квантование энергии дает результаты, близкие к результатам классического рассмотрения. В этом нахо­дит свое выражение важный принцип со­ответствия, наиболее полно сформулирован­ный Бором (1923): при больших квантовых числах выводы и резуль­таты квантовой механики должны соответство­вать классическим результатам.

В более общей формулировке принцип соответствия требует, чтобы между любой теорией, которая является развитием клас­сической, и первоначальной классической теорией существовала закономерная связь — в определенных предельных случа­ях новая теория должна переходить в ста­рую.

Опыты Франка и Герца

Изучая методом задерживающего потенциала столкновения электронов с атомами газов (1913), Д. Франк и Г. Герц экспериментально доказали дискретность значений энергии атомов. Принципиальная схема их установки приведена на рис. Вакуумная трубка, заполненная парами ртути (давление приблизительно равно 13 Па), содержала катод (К), две сетки (С) и Q) и анод (А). Электроны, эмитируемые катодом, ускорялись разностью потенциалов, приложенной между катодом и сеткой С1. Между сеткой С2 и анодом приложен небольшой (примерно 0,5 В) задерживающий потенциал.

Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2 между сетками, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны, которые после соударе­ний имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в об­ласти 3, достигают анода. При неупругих соударениях электронов с атомами ртути последние могут возбуждаться. Согласно боровской теории, каждый из атомов ртути может получить лишь вполне определенную энергию, переходя при этом в одно из возбужденных состояний. Поэтому если в атомах действительно существуют стационарные состояния, то электроны, сталкиваясь с атомами ртути, должны терять энергию дискретно, определенными порциями, равными разности энергий соответствующих стационарных состояний атома.

Из опыта следует , что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 4,86 В анодный ток возрастает монотонно» его значение проходит через максимум (4,86 В), затем резко уменьшается и возрастает вновь. Дальнейшие максимумы наблюдаются при 2 • 4,86 и 3 • 4,86 В.

Ближайшим к основному, невозбужденному, состоянию атома ртути является возбужденное состояние, отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ. Пока разность потенциалов между катодом и сеткой меньше 4,86 В, электроны, встречая на своем пути атомы ртути, испытывают с ними только упругие соударения. При =4,86эВ энергия электрона становится достаточной, чтобы вызвать неупругий удар, при котором электрон отдает атому ртути всю кинетическую энергию, возбуждая переход одного из электронов атома из нормального энергетического состояния на возбужденный энергетический уровень. Электроны, потерявшие свою кинетическую энергию, уже не смогут преодолеть тормозящего поля и достигнуть анода. Этим и объясняется первое резкое падение анодного тока при = 4,86эВ. При значениях энергии, кратных 4,86 эВ, электроны могут испытать с атомами ртути 2, 3, … неуп­ругих соударения, потеряв при этом полностью свою энергию, и не достигнуть анода, т. е. должно наблюдаться резкое падение анодного тока. Это действительно наблюда­ется на опыте.

Таким образом, опыты Франка и Герца показали, что электроны при столкновении с атомами ртути передают атомам только определенные порции энергии, причем 4,86 эВ — наименьшая возможная порция энергии (наименьший квант энергии), кото­рая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии. Следовательно, идея Бора о существовании в атомах стационарных состояний блестя­ще выдержала экспериментальную проверку.

Атомы  ртути, получившие при соударении с электронами энергию , переходят в возбужденное состояние и должны возвратиться в основное, излучая при этом, согласно второму постулату Бора, световой квант с частотой . По известному значению =4,86 эВ можно вычислить длину волны излучения; нм. Таким образом, если теория верна, то атомы ртути, бомбардиру­емые электронами с энергией 4,86 эВ, должны являться источником ультрафиолетово­го излучения с 255нм. Опыт действительно обнаруживает одну ультрафиолетовую линию с 254нм. Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтвердили не только первый, но и второй постулат Бора. Эти опыты сыграли огромное значение в развитии атомной физики.

Опыт Штерна и Герлаха

О. Штерном и В. Герлахом были по­ставлены опыты (1921), целью которых яв­лялось измерение магнитных моментов атомов различных химических элементов. Для определения моментов и одного электрона опыты должны быть поставлены с атомами, у которых орбитальные механи­ческие (и магнитные) моменты всех элек­тронов, кроме одного, взаимно компенсируют друг друга. Такими атомами являются атомы химических элементов, образующие первую группу периодической системы Мен­делеева и имеющие один валентный элект­рон на внешней оболочке.

Идея опытов Штерна и Герлаха заклю­чалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле. В та­ком магнитном поле на атом должна дей­ствовать сила   . Здесь – проекция магнитного момента атома на направление z магнитного поля, а В — индукция магнитного поля (на­правленная вдоль оси Z), неоднородного только вдоль этой же оси.

Опыты Штерна и Герлаха обнаружили ошибочность классического предположения о том, что магнитный момент и механиче­ский момент импульса атома произвольно ориентируются относительно направления внешнего поля, и подтвердили наличие про­странственного квантования. Схема первых опытов Штерна и Герлаха изображена на рис.

И Если бы момент импульса L; атома (и его магнитный момент рт) мог принимать произвольные ориентации в магнитном по­ле, то можно было бы ожидать непрерывно­го распределения попаданий атомов на пластинку с большей плотностью попаданий в середине пластинки и меньшей плотно­стью к ее краям. Опыты, проведенные с се­ребром и атомами других элементов перио­дической системы, привели к совершенно другому результату. На рис.  показана фотография результата опыта Штерна и Герлаха с литием.

Из рисунка видно, что на фотопластинке получились две резкие полосы — все атомы отклонялись в магнитном поле двояко, что соответствовало лишь двум возможным ориентациям магнитного момента во внешнем поле. Момент импуль­са атома (и его магнитный момент) равен суммарным моментам электронов, посколь­ку магнитные моменты ядер имеют значи­тельно меньшее значение, чем магнитные моменты электронов. Последние совпадают с суммарными моментами валентных элек­тронов, так как моменты электронов за­мкнутых оболочек компенсируются. лития и других атомов первой группы периодической   системы   имеется   один   валентный оптический электрон. Таким образом,   моменты   импульса   и   магнитные   моменты таких атомов совпадают с моментами электрона.

Связь величин  рт  и  Lt  можно записать в виде:

,

где – магнетон Бора. Таким образом, магнитный момент может содержать некоторое число магнетонов Бора.

Для серебра Штерн и Герлах получили, что проекция магнитного момента атома на направление поля численно равна магнетону Бора.

Эффект Зеемана

Эффектом Зеемана называется расщепление спектральных линий и уровней энергии во внешнем магнитном поле.

В простейшем случае эффект Зеемана заключается в том, что при помещении ис­точника света в достаточно сильное магнит­ное поле спектральная линия с частотой расщепляется на три или две компоненты. При наблюдении излучения, распространя­ющегося перпендикулярно направлению напряженности Н магнитного поля, линия симметрично расщепляется на три компо­ненты с частотами и . При этом все три компоненты линейно поляризованы. У средней компоненты , называемой  -компонентой, колебания электрического вектора Е направлены вдоль Н. У крайних компонент ( -компонент ) колеба­ния электрического вектора Е перпендику­лярны направлению Н.

При наблюдении излучения, распростра­няющегося вдоль направления напряженно­сти Н магнитного поля, линия исчезает, а крайние линии и , оказываются поляризованными по кругу с противополож­ными направлениями вращения. Указанный тип расщепления спектральных линий называется нормальным или простым эффектом Зеемана. В этом эффекте расстоя­ние между средней и крайними линиями нормального триплета  оказывается равным  ,  где — магнетон Бора.

Нормальный эффект Зеемана относи­тельно легко наблюдается в спектрах щелочноземельных элементов, а также в спектрах Zn, Cd и Hg.

Эффект Штарка

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера

удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным l и магнитным .

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с еди­ницы:

n = 1,2,3,…

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

,

где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения

,

т. е. всего n значении, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные

значения, кратные :

,

где — магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать
значения

,

т. е. всего 2/+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2/+1 ориентации.

Наличие квантового числа должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2/+1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в раз­личных точках объема атома. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число характеризует ориентацию электронного облака  в пространстве.