ФИТР БНТУ – Портал Студентов

§ 3. Закон Кирхгофа

Рис. 1.3. Спектральная зависимость испускательной способности черного тела при Т=2900К.

а- зависимость от , выраженная в равномерной шкале частот;

б-  зависимость от , выраженная в равномерной шкале длин волн. Площадь заштрихованного участка дает поток , приходящийся на интервал частот или соответствующий интервал длин волн .

Правило Прево, устанавливающее связь между способностью тела поглощать и излучать тепло, имело качественный характер. Полстолетия спустя Кирхгоф (1859 г.) придал ему вид строгого количественного закона, играющего основную роль во всех вопросах теплового излучения. Для характеристики теплового излучения мы воспользуемся величиной потока энергии Ф, т.е. количества энергии, излучаемого в единицу времени (мощность излучения). Поток, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям, будем называть испускательной способностью и обозначим через Е. Определенная таким образом испускательная способность соответствует светимости (см. Введение, фотометрические понятия) и иногда называется энергетической светимостью. Наряду с ней можно рассматривать и энергетическую яркость В, определяемую аналогично яркости при фотометрических измерениях. Для черного тела яркость не зависит от направления, так что .

Тепловое излучение занимает более или менее широкую спектральную область, и так как испускательная способность тела зависит от длины волны (частоты), то для характеристики ее мы должны оговорить, к какому спектральному участку относится наше определение. Положим, что спектральный участок заключен между частотами и . Чем меньше , тем детальнее будет охарактеризована испускательная способность тела (рис. 1.3, а). Вместе с тем, количество энергии, относящееся к узкому спектральному интервалу, пропорционально его ширине , что кладет практический предел сужению спектрального интервала.

Таким образом, величина светового потока данного спектрального интервала связана с шириной этого интервала соотношением , где — коэффициент, характеризующий испускательную способность нашего тела для частоты .

Мы можем, конечно, представить испускательную способность не в функции частоты , а в функции длины волны , т. е. построить график не , а (см. рис. 1.3, б). Поскольку площади как под той, так и под другой кривой определяют интегральную энергию излучения, то рационально выбрать масштабы так, чтобы площади эти были равны. Выделяя каждый раз площадку, дающую величину одного и того же светового потока , приходящегося на интервал частот или интервал соответствующих длин волн , найдем

т.е. .

Так как (- скорость света), то

,

причем знак минус не имеет существенного значения, ибо он показывает только, что с возрастанием убывает.

Итак, , т. е. при переходе от кривой к кривой вид кривой трансформируется (см. рис. 1.3). В частности, положение максимумов на той и другой кривой соответствует разным частотам (длинам волн). Поэтому всегда надлежит указывать, какая из кривых имеется в виду. В теоретических расчетах чаще встречается кривая , в результатах экспериментальных измерений — чаще .

Опыт показывает далее, что (равно как и ) в сильной степени зависит от температуры испускающего тела, так что испускательная способность есть функция частоты и температуры. Тот факт, что зависит от температуры излучающего тела и не зависит от температуры окружающих тел, есть физическое выражение идеи Прево о динамическом равновесии между телами, обменивающимися лучистой энергией. Нагретое до температуры Т тело излучает в единицу времени одинаковое количество энергии, независимо от того, окружено ли оно нагретыми пли холодными телами, но тепловое равновесие установится на уровне, обусловленном балансом энергии между всеми этими излучателями.

Итак, испускательную способность тела можно определить по измерению потока энергии, посылаемого единицей поверхности тела во все стороны, согласно соотношению

.                                                                                                                    (3.1)

Зная испускание тела в каждом спектральном участке, можно без труда вычислить суммарное излучение, проинтегрировав (3.1) по всем частотам:

.                                                                                                         (3.2)

Вместе с тем, если на единицу поверхности тела падает световой поток , то часть этого потока dФ’ будет поглощаться телом. Поглощательной способностью тела А называют отношение поглощенного потока dФ’ к падающему dФ, т. е.

Само собой разумеется, что и в этом случае имеется в виду поток в узком спектральном интервале (квазимонохроматический), ибо поглощательная способность тел также зависит от длины волны. Опыт показывает также, что А зависит и от температуры и, таким образом, поглощательная способность тела есть функция частоты и температуры тела. по принятому определению есть всегда правильная дробь, и максимальное значение — единица.

Кирхгоф назвал тела, для которых = 1 Для всех частот и температур, абсолютно черными или абсолютно поглощающими телами. Сажа, равно как и платиновая чернь, приближается по своим свойствам к абсолютно черному телу.

Закон Кирхгофа касается соотношения между и и гласит: отношение испускательной и поглощательной способностей тела не зависит от природы тела, т. е. — есть универсальная для всех тел функция частоты и температуры, тогда как и , взятые отдельно, могут меняться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому.

Обозначив для абсолютно черного тела испускательную способность через , а поглощательную способность — через -, можно написать закон Кирхгофа в виде

,                                                                                                              (3.3)

так как .

Таким образом, универсальная функция Кирхгофа есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела. Рассуждения Кирхгофа, приведшие его к формулировке своего закона, имеют очень общий характер и покоятся на втором законе термодинамики, в силу которого тепловое равновесие, установившееся в изолированной системе, нельзя нарушить обменом тепла между частями системы.

Представим себе замкнутую оболочку, внутренняя часть которой эвакуирована, а стенки представляют собой черное тело, характеризующееся коэффициентами и . Пусть температура стенок повсюду сделана одинаковой и равной Т. Отдельные участки стенок обмениваются излучением, но этот обмен не способен нарушить тепловое равновесие. Следовательно, излучение, которое посылает в течение единицы времени какой-то участок стенки внутрь полости (т. е. ), равняется излучению, поглощаемому им за то же время. Но так как коэффициент поглощения этого участка равен 1, то величина характеризует излучение, доходящее до нашего участка за единицу времени от всей остальной оболочки. Вообразим теперь, что наш участок стенки заменен участком*) той же температуры, но отличным от черного и имеющим испускательную и поглощательную способности Е и А. За единицу времени данный участок по-прежнему будет получать излучение, равное , ибо это — излучение, идущее от всей остальной части оболочки, оставшейся неизменной. Из этого излучения наш участок поглотит энергию. За то же время участок излучит. Так как тепловое равновесие (постоянство температуры стенок всей оболочки) не должно нарушаться тепловым обменом, то, очевидно,

или .

Закон Кирхгофа доказан, таким образом, для любого тела. Из приведенных рассуждений ясно, что замененный нами внутри стенки полости участок для наблюдателя, следящего за посылаемым этим участком излучением, ничем не отличается от других «черных» участков стенки. Действительно, в единицу времени он испускает внутрь полости излучение в количестве и отражает из общего падающего на него потока излучения . Общее количество посылаемого им излучения есть (в силу доказанного выше соотношения), т. е. равно излучению любого черного участка стенки того же размера.