Четырехмерный вектор энергии-импульса частицы
Рубрика Механика | 15 мая 2009 11:30 | admin
Четырехмерный вектор энергии-импульса частицы.
Полная энергия Е и импульс р не являются инвариантами. Действительно, обе величины зависят от 
, скорость же в различных системах отсчета имеет неодинаковое значение. Выясним, как преобразуются энергия и импульс при переходе от одной системы отсчета к другой.
Рассмотрим элементарное перемещение некоторой частицы. Пусть в системе отсчета К это перемещение осуществляется за время dt, а компоненты перемещения равны dx, dy, dz, В системе К? то же самое перемещение происходит за время dt’, а его компоненты равны dx’, dy’, dz’. Между промежутками времени и компонентами перемещения имеются соотношения
, 
, 
, 
.
Умножим эти формулы на массу частицы т и разделим на соответствующее промежуткам dt и dt’ собственное время частицы 
(напомним, что масса и собственное время являются инвариантными величинами, т. е. имеют одинаковое значение в обеих системах). В результате получим
,
, 
, (32)
.
Согласно формуле 
, 
, 
и т.д. В соответствии с (28) 
, 
.С учетом этого формулы (32) можно представить в виде
, 
, 
, 
. (33)
Мы получили формулы, по которым преобразуются импульс и энергия частицы при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой. Эти формулы совпадают с формулами по которым преобразуются координаты и время. Чтобы легче было производить сопоставление, напишем эти формулы рядом
, 
,
, 
, (34)
, 
.
Из сопоставления следует, компоненты импульса ведут себя при преобразованиях как координаты, а энергия – как время.
Вскрываемая формулами (34) аналогия позволяет представить математический аппарат релятивистской механики в виде соотношений между векторами в воображаемом четырехмерном пространстве (четырехвекторами). Этому пространству приходится предписывать необычные свойства, отличные от свойств привычного нам евклидова пространства. В трехмерном евклидовом пространстве величина
является инвариантом, т.е. не изменяется при поворотах координатных осей. В противоположность этому величина
(35)
оказывается не инвариантной – она не сохраняется при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой (такой переход можно представить как поворот осей в четырех мерном пространстве). Следовательно, величина (35) не обладает свойствами квадрата расстояние между двумя мировыми точками. Инвариантным, является выражение
(36)
которое и можно рассматривать как квадрат расстояния между двумя точками в интересующем нас четырехмерном пространстве.
Наделив четырехмерное пространство такими свойствами, мы можем рассматривать величины ct, x, у, z как компоненты четырехвектора, проведенного из начала координат в данную мировую точку. Соответственно с 
, 
, 
и 
можно рассматривать как компоненты четырехвектора – перемещения из одной мировой точки в другую. В трехмерном евклидовом пространстве, кроме радиус-вектора и вектора перемещения, рассматриваются и другие векторы (скорости, ускорения, силы и т. д.), причем для любого вектора а величина
является инвариантом. Компоненты любого такого вектора преобразуются при поворотах координатных осей по таким же формулам, как и координаты.
По аналогии с трехмерными векторами в евклидовом пространстве можно определить четырехмерные векторы. Под четырехмерным вектором понимают совокупность четырех величин at, ax, ау, az, преобразующихся по тем же формулам, что и ct, x, у, z (см. левый столбец формул (34)). “Квадрат” такого вектора следует определить как
(37)
Вследствие того, что компоненты преобразуются так же, как координаты, выражение (37) оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.
Из формул (34) следует, что совокупность величин
, 
, 
, 
(38)
образует четырехвектор . Его называют вектором энергии-импульса. Образованное из компонент (38) выражение вида (37) является, инвариантом:
.