ФИТР БНТУ – Портал Студентов

Полная энергия частицы.

  Второй закон Ньютона гласит, что производная импульса час­тицы (материальной точки) по времени равна результирующей силе, действующей на частицу. Уравнение вто­рого закона оказывается инвариантным относительно преобразо­ваний Лоренца, если под импульсом подразумевать величину (13). Следовательно, релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид

                                                                                            (16)

   Следует иметь в виду, что соотношение mw=F в релятивистском случае неприменимо, причем ускорение w и сила F, вообще говоря, оказываются неколлинеарными.

Заметим, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Формулы преобразования компонент импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой будут получены в следующем параграфе. Формулы преобразования ком­понент силы мы дадим без вывода:

                ,    ,              (17)

(, – скорость частицы в системе К?). Если в системе К’ действующая на частицу сила F’ перпендикулярна к скорости час­тицы , скалярное произведение равно нулю и первая из фор­мул (17) упрощается следующим образом:

                                                .                                                (18)

Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, умножим уравнение (16) на перемещение частицы. В результате получим

                                             .

Правая часть этого соотношения дает работу dA, совершаемую над частицей за время dt. Работа результи­рующей всех сил идет на приращение кинетической энергии частицы. Следовательно, левая часть со­отношения должна быть истолкована как приращение кинетической энергии Т частицы за время dt. Таким образом,

                             .

   Преобразуем полученное выражение, приняв во внимание, что :

Интегрирование полученного соотношения дает

                                                .                    (19)

По смыслу кинетической энергии она должна обращаться в нуль при =0. Отсюда для константы получается значение, равное — тс2. Следовательно, релятивистское выражение для кинетиче­ской энергии частицы имеет вид

                             .                     (20)

   В случае малых скоростей () формулу (20) можно преобра­зовать следующим образом:

                           .

   Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энер­гии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской меха­ники должны переходить в соответствующие формулы ньютонов­ской механики.

   Рассмотрим свободную частицу (т. е. частицу, не подвержен­ную действию внешних сил), движущуюся со скоростью и. Мы вы­яснили, что эта частица обладает кинетической энергией, опреде­ляемой формулой (20). Однако имеются основания (см. ниже) приписать свободной частице, кроме кинетической энергии (20), дополнительную энергию, равную

                                                           .                                                (21)

Таким образом, полная энергия свободной частицы определяется выражением . Приняв во внимание (20), по­лучим, что

                                                                                (22)

   При выражение (22) переходит в (21). Поэтому называют энергией покоя. Эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением час­тицы как целого. Формулы (21) и (22) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из мно­гих частиц. Энергия такого тела содержит в себе, помимо энер­гий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энер­гию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) и энергию их взаимодействия друг с другом. В энер­гию покоя,  как и в полную ) энергию (22), не входит потенциаль­ная энергия тела во внешнем силовом поле.

   Исключив из уравнений (13) и (22) скорость v (уравнение (13) нужно взять в скалярном виде), получим выражение полной энергии частицы через импульс р:

                                                           .                                        (23)

В случае, когда  , эту формулу  можно представить в виде

                        .                 (24)

Полученное выражение отличается от ньютоновского выражения для кинетической энергии слагаемым тс2.

   Заметим, что из сопоставления выражений (13) и (22) выте­кает формула

                                                                                                               (25)

   Поясним, почему свободной частице следует приписывать энер­гию (22), а не только кинетическую энергию (20). Энергия по своему смыслу должна быть сохраняющейся величиной. Соответ­ствующее рассмотрение показывает, что при столкновениях частиц сохраняется сумма (по частицам) выражений вида (22), в то время как сумма выражений (20) оказывается несохраняющейся. Не­возможно удовлетворить требованию сохранения энергии во всех инерциальных системах отсчета, если не учитывать энергию по­коя (21) в составе полной энергии.

   Кроме того, из выражения (22) для энергии и выражения (13) для импульса удается образовать инвариант, т. е. величину, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца. Действительно, из формулы (23) вытекает, что

                                                                                          (26)

(напомним, что масса т и скорость с являются инвариантными ве­личинами). Эксперименты над быстрыми частицами подтверждают инвариантность величины (26) Если под Е в (26) понимать кинетическую энергию (20), выражение (22) оказывается не инвариантным.

   Получим еще одно выражение для релятивистской энергии. Из формулы (64.3) следует, что

                                                       ,                                                  (27)

где dt — промежуток времени между двумя происходящими с час­тицей событиями, отсчитанный по часам той системы отсчета, от­носительно которой частица движется со скоростью , – тот же промежуток времени, отсчитанный по часам, движущимся вместе с частицей (промежуток собственного времени). Подставив (27) в формулу (22), получим выражение

                                                    .                                                  (28)