ФИТР БНТУ – Портал Студентов

Релятивистский импульс.

   Уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразо­ваниям Галилея. Однако по отношению к преобразова­ниям Лоренца они оказываются не инвариантными. В частности, не инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца выте­кающий из законов Ньютона закон сохранения импульса. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, как выглядит в системах К. и К’ абсолютно неупругий удар двух одинаковых шаров массы т (рис 2).

     Пусть в системе К шары движутся навстречу друг другу вдоль оси х с одинаковыми по величине скоростями, проекции которых на ось х равны: и ( — относительная скорость си­стем K и K?). При этих условиях после столкновения шары будут покоиться:. Таким образом, полный импульс системы и до, и после столкновения равен нулю — в системе  К импульс сохраняется.

Теперь рассмотрим тот же процесс в системе К?. Воспользовав­шись первой из формул (7), найдем для скоростей шаров до столк­новения значения и, а для скоростей шаров после столкновения совпадающее значение . Следовательно, суммарный импульс до столкновения равен , а после столкновения составляет. Если , импульс системы до и после столкновения практически одинаков.                Однако при движении шаров с большой скоростью , различие начального и конечного импульсов делается весьма ощу­тимым. Таким образом, воспользовавшись ньютоновским  выраже­нием для импульса, мы пришли к выводу, будто в системе К’ импульс не сохраняется. Один из основных законов механики —закон сохранения импульса — в ньютоновской формулировке оказывается неинвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.

   Попытаемся найти такое выражение для импульса, чтобы закон сохранения импульса был инвариантен по отношению к преобразо­ваниям Лоренца. При этом будем иметь в виду, что при малых ско­ростях релятивистское выражение для импульса должно переходить  в ньютоновское  выражение

                                                     .                                         (9)

Предположим, что выражение для импульса частицы массы т имеет вид

                                                     ,                                             (10)

где — скорость, — модуль скорости частицы, — некоторая безразмерная функция . Для того чтобы при выражение (10) переходило в (9), функция должна для таких скоростей практически равняться единице.

   Рассмотрим абсолютно упругое соударение двух одинаковых частиц массы т в системе Кс их центра инерции. В этой системе суммарный импульс частиц равен нулю. Следовательно, скорости частиц одинаковы по величине и противоположны по направлению (рис. 67,2,а ). В силу законов сохранения энергии и импульса ско­рости частиц после удара должны иметь ту же величину, что и до удара, а направления скоростей должны быть противоположными (см. рис. 67.2, а).

    Выберем оси координат так, чтобы скорости частиц лежали в плоскости x, y и располагались относительно оси х симметрично. Тогда соударение частиц в системе Кс будет выглядеть так, как по­казано на рис. 67.2,б.

   Перейдем от системы отсчета Кс к системе К’, относительно ко­торой частица 2 движется параллельно оси у’.

   Наконец, перейдем к системе отсчета К, относительно которой частица 1 движется параллельно оси у . Значения v, и и w ,как в первом случае, так и во втором,  одни и те же, так как вследствие сим­метрии задачи при переходе от системы К’ к системе К частицы обмениваются скоростями.

   Мы исходили из того, что суммарный импульс частиц сохра­няется при соударении в системе Кс. Потребуем, чтобы закон со­хранения импульса выполнялся и в системе К. Иксовая компонента суммарного импульса частиц в системе К в результате соударения не изменяется. Должна оставаться неизменной также игрековая компонента суммарного импульса частиц. С учетом (10) сохранение игрековой компоненты запишется анали­тически следующим образом:

            .

Отсюда вытекает, что

                                                                                           (11)

   В системе К’ игрековая компонента начальной скорости частицы 2 равна , а иксовая компонента— нулю. В системе К игрековая компонента начальной скорости частицы 2 равна и. Относительная скорость систем К’ и К равна. Согласно второй из формул (6) величины и и связаны соотношением

                                                  .

Подстановка этого значения и в равенство (11) дает, что

                                              .                                (12)

   Пусть (а значит, и и) много меньше с, в то время как срав­нима со скоростью света с (частицы до и после соударения летят почти параллельно оси х). Тогда можно положить равной еди­нице (при импульс определяется формулой (9)), a  считать  равным  . Саму же можно рассматривать не как величину составляющей скорости вдоль оси х, а как величину скорости час­тицы. В этом случае соотношение (12) принимает вид

                                                  ,

откуда

                                           ,

Подстановка этой функции в (10) приводит к релятивистскому выражению для импульса:

                                                        .                                (13)

   Выражение (13) можно представить в виде

                                                      ,                   (14)

где — промежуток собственного времени частицы, за который она получает смещение . Отметим, что dr в формуле (14) есть перемещение частицы в той системе отсчета, в которой определяется импульс р; промежуток времени определяется по часам, движущимся вместе с частицей.

   Входящая в формулу (13) масса т представляет собой инва­риантную и, следовательно, не зависящую от скорости тела вели­чину.

   Из (13) следует, что зависимость импульса от скорости оказы­вается более сложной, чем это предполагается в ньютоновской ме­ханике. При выражение (13) переходит в ньютоновское вы­ражение .

   Заметим, что выражение (13) допускает следующую, все реже используемую трактовку. Импульс, как и в ньютоновской меха­нике, равен произведению массы тела на его скорость:

                                                                                                   (15)

Однако масса тела не является постоянной инвариантной величи­ной, а зависит от скорости по закону

При такой трактовке инвариантную массу т называют массой покоя(ее часто обозначают символом ). Зависящая от скорости неинвариантная масса носит название релятивистской массы или массы движения.