Прохождение частицы над потенциальный барьером
Рубрика Механика | 15 мая 2009 10:40 | admin
Прохождение частицы над потенциальный барьером и через потенциальный барьер . Туннельный эффект.
Рассмотрим потенциальный барьер простейшей прямоугольной формы (рис. 293, а) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l.
(для области 1),
(дляобласти2)
0,x>l (для области 3).
При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е > U), либо отразится от него (при Е < U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же даже при Е > U имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При Е < U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х >l. т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при условия данной задачи.
Рис. 293
Уравнение Шредингера (7.5) для каждой из выделенных на рис. 293, а области имеет вид
(для области 1 и 3; 
),
(для области 2; 
). (9.1)
Общие решения этих дифференциальных уравнений:
(для области 1); (9.2)
(для области 2);
(для области 3). (9.3)
В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (7.4), будет иметь вид
(9.4)
В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует частике, движущейся в сторону барьера), а второй – волну, распространяющуюся в противоположном направлении, т. е. отраженную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево). Коэффициент A1 выражении (9.2) (и соответственно (221.4)) связан с интенсивностью пучка частиц, движущихся к барьеру, и поэтому задается произвольно. Обычно выбирают A1=1.
Решение (9.3) содержит также волны (после умножения на временной множитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В3 в формуле (9.3) следует принять равным нулю.
В области 2 решение зависит от соотношений E>U или E<U. Физический интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, поскольку при E < U законы классической физики однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно (9.1), 
- мнимое число, где
Учитывая значение 
и В3 = 0, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:
(для области 1),
(9.5)
(для области 2).
(для области 3).
В области 2 функция (9.5) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. В2 также необходимо выбрать равным нулю из-за условия конечности, налагаемого на волновую функцию.
Качественный вид функций 
показан на рис. 293.6. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.
Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.
Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера. Расчеты показывают, что коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера выражается формулой
, (9.6)
где U — высота потенциального барьера, Е – энергия частицы, l – ширина барьера. Из выражения (9.6) следует, что D сильно зависит от массы m частицы, ширины l барьера и от (U – Е); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.
Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 294)
,
где 
С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Е < U противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, что если классическая частица находилась бы в какой-то точке в области барьера, то ее полная энергия оказалась бы меньше ее потенциальной энергии, что абсурдно. С квантовой точки зрения такого противоречия нет. Если частица движется к барьеру, то до столкновения с ним она имеет вполне определенную энергию. Если взаимодействие с барьером длится в течение времени 
то, согласно соотношению неопределенностей (5.5), энергия частицы в состоянии взаимодействия с барьером уже не будет определенной, а характеризуется неопределенностью 
(рис. 294). Если эта неопределенность порядка высоты барьера, то он перестает быть для частицы неопределимым препятствием и частица «пройдет» сквозь него.
Рис 294
Основы теории туннельных переходов заложены работами советской школы во главе с Л. И. Мандельштамом. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомный и ядерной физики (например, 
– распад, протекание термоядерных реакций).