ФИТР БНТУ – Портал Студентов

Частица в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками”.

   Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” с бесконечно вы­сокими “стенками”. Такая “яма” опи­сывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)       

где l -  ширина “ямы”, а энергия от­считывается от ее дна (рис. 2).

                                                       Рис. 2

   Уравнение Шредингера (7.5) в случае одномерной задачи запишется в виде

                                                 .                               (8.1)                                     

По условию задачи (бесконечно высо­кие “стенки”), частица не проникает за пределы “ямы”, поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волно­вая функция) за пределами “ямы” равна нулю. На границах “ямы” (при х=0 и х=l) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следо­вательно, граничные условия в данном случае имеют вид

                                                                                               (8.2) 

   В пределах “ямы” (уравне­ние Шредингера (8.1) сведется к урав­нению

                                            ,         

или

                                                                                               (8.3)

где

                                                                                                    (8.4)                                        

Общее     решение    дифференциального уравнения (8.3):

                                                                              (8.5)

Условие (8.2) выпол­няется только при где n – целые числа, т. е. необходимо, чтобы

                                                .                                                          (8.6)

Из   выражений   (8.4)   и   (8.6)   сле­дует, что

                                                                                                 (8.7) 

т.е. уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками”, удов­летворяется только при собственных зна­чениях Еn, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия  частицы в “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками” не может быть произвольной, а принимает лишь опреде­ленные дискретные значения, т. е. кванту­ется. Квантованные значения энергии Е„ называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни ча­стицы, называется квантовым числом. Таким образом, микрочастица в “потен­циальной яме” с бесконечно высокими “стенками” может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или, как говорят, частица находится в оп­ределенном квантовом состоянии n.

   Подставив    в   (8.5)   значение    k    из (8.6) найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования  А определим из условия нормировки (6.3), которое для данного случая запишется в виде

В   результате   интегрирования    получим , а собственные функции будут иметь вид

                                                                  (8.8)

                                                              Рис. 3

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (8.7) при n = 1, 2. 3, приведены на рис.3. а. На рис.3, б изображена плотность ве­роятности обнаружения частицы от “сте­нок” ямы, равная для n – 1, 2 и 3. Из рисунка следует, что. например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в середине “ямы”, в то время как оди­наково часто может пребывать в ее ле­вой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представ­ления о траекториях частицы в кван­товой механике несостоятельны.

Из выражения (8.7) вытекает, что энер­гетический интервал между двумя со­седними уровнями равен

                                                                    (8.9)

Например, для электрона при размерах ямы м (свободные электроны в металл ДжэВ т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными),   то   для   электрона  Дж=эВ, т. е. получаются явно дискретные -значения энергии (линейчатый спектр). Таким об­разом, применение уравнения Шредин­гера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» при­водит к квантованным значениям энер­гии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

   Кроме того, квантово-механическое рас­смотрение данной задачи приводит к вы­воду, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная . Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соот­ношения неопределенностей. Неопределен­ность координаты х частицы в «яме» шириной l равна . Тогда, согласно соотношению неопределенностей (5.1), импульс не может иметь точное, в дан­ном случае нулевое, значение. Неопре­деленность импульса . Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия. Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превышающую это ми­нимальное значение.

   Из формул (8.9) и (8.7) следует, что при больших квантовых числах () ,  т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем боль­ше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характер­ная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Этот ре­зультат является частным случаем прин­ципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях кван­товых чисел переходить в законы клас­сической физики.

   Более общая трактовка принципа со­ответствия, имеющего огромную роль в современной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классиче­ской, не отвергает ее полностью, а вклю­чает в себя классическую теорию, ука­зывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях но­вая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики спе­циальной теории относительности пере­ходят при  в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.