ФИТР БНТУ – Портал Студентов

Стационарные состояния.

   Уравнение (7.1) является общим урав­нением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явле­ний, происходящих в микромире, уравне­ние (7.1) можно упростить, исключив зависимость от времени. Это возмож­но, если силовое поле, в котором ча­стица движется, стационарно, т. е. фун­кция U=U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение урав­нения Шредингера может быть представ­лено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, при­чем зависимость от времени выражается множителем , так что

                                                                 (7.2)

где Е — полная энергия частицы, постоян­ная в случае стационарного поля.

Под­ставляя (7.2) в (7.1), получим

откуда после деления на общий множи­тель  и соответствующих преоб­разований придем к уравнению, опреде­ляющему функцию :

                                                                                  (7.3)

Уравнение (7.3) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Мы проанализируем только это уравне­ние и для краткости в дальнейшем будем называть его просто уравнением Шредингера.

   В уравнение  Шредингера (7.3) в  ка­честве параметра входит полная энергия E частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют решения не при лю­бых значениях параметра, а лишь при определенных значениях Е. Эти значения энергии называются собственными. Реше­ния же, которые соответствуют собствен­ным значениям энергии, называются соб­ственными функциями. Собственные зна­чения E могут образовывать как непре­рывный, так и дискретный ряд. В пер­вом случае говорят о непрерывном, или оплошном, спектре, во втором – о дискретном спектре.