ФИТР БНТУ – Портал Студентов

Ошибки, допускаемые при проверке стат.гипотез.

Уровень значимости стат. критерия.

Ошибкой первого рода наз. Ошибка отклонения верной нулевой гипотезы H0

——– второго рода наз. Принятие ложной гипотезы H0

Уровнем значимости стат. критерия наз. вероятность совершенной ошибки первого рода.

Мощностью критерия наз вероятность несовершенной ошибки второго рода.

Проверка гипотезы о нормальном распределении СВ.

Эта гипотеза есть непар. гипотеза.

Основное предположение в том, что вид закона распределения – нормальный.

Критерий согласия Пирсона.

Пусть имеется по результатам выборки вариационный ряд.

Если гипотеза о нормальном распределении верна, то эмперические частоты должны совпадать с теоритическими частотами.

nP1-теор.частота

… и т.д.

-эта величина распространяется по закону

- табличная величина.

Если , гипотеза согласуется с данными опыта.

число степеней свободы.

Достоинства – применим как для непрерывных, так и для дискретных СВ

Недостаток – громоздок

Эмпирическая функция распределения.

Из закона больших чисел следует, что если количество наблюдений велико, то F”(x) стремится по вероятности к теоретической функции распределения F”(x).

1)F”(x)-неубывающая функция.

2)

3)Если все значения находятся в промежутке [xk-1;xk] то F”(x)=1;F”(xk-1)=0;

Если по х откл.значения вариант, а по оси y накопленные частности и получаются соедин. Прямыми, то ломанные комулятой.

Комулята – статистический аналог интегральной функции распределения в теории вероятности.

– аналог M(X);

-выборочная дисперсия.

-среднее квадратичное отклонение.

Размах выборки

Модой называется то значение варианты, при котором достигается наибольшая частота.

Если несколько таких значений – то распределение – полимодальное.

- медиана. Делит вариационный ряд пополам.

Начальный и центральный выборочные моменты.

Суть метода Кормагорова: сравн. теор. и данотир. ф-цию распределения:

1) выдвиг Ha: ;

2) извлекается выборка объема n;

3) Находят .

Величина при увеличении объема выборки обладает след. св-вом: вер-ть того, что .

;

4) по величине , сравнивая с табличными значениями в зависимости от уровня значимости

   0,10      0,05     0,01

  1,224    1,358   1,627

Если окаж. , то отсюда следует несоответствие опытным данным.

Элементы теории корреляции.

Каждому значению х соответствует 1 или несколько вполне определенных y. Две СВ X, Y могут быть связаны, либо зависимостью другого рода, наз. Статистической, либо не связаны (независимы).

Пример: Пусть Х – кол-во внесенных удобрений, Y – урожайность с одинаковой по площади участков при одинак. внесенных удобрениях получ. различн. урожай. Средняя урожайность есть ф-ция от кол-ва удобрений.

Пусть имеется 3 участка (внесли 2 тонны). На одном получили 5 единиц, на другом 6 единиц, на 3-ем – 10 единиц.

.

– условное среднее – среднее арифметическое значение Y, соотв. значению х=2. Если каждому значению X соотв. 1 нач. условной средней , то – ф-ция от значений X. В этом случае говорят, что СВ Y зависит от СВ X корреляционно.

Корреляционной зависимостью Y от X наз ф-цию зависимости условной средней от x.

(1) это уравнение наз. Уравнением регрессии Y на X, а график этой ф-ции наз. ниейрегрессии .

Элементы математической статистики

Генеральная выборочная совокупность

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному признаку, называется статистической совокупностью.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность случайно выбранных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

Повторная и бесповторная выборка

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность.

Аналогично бесповторной.

Репрезентативная выборка

В силу закона больших чисел выборка будет репрезентативной, если отбор будет проходить случайным образом.

Способы отбора:

1. отбор, не требующий разделения генеральной совокупности – простой случайный повторный и бесповторный отбор
2. отбор, при котором генеральный отбор разбивается на части – типический, серийный, механический

Механическим называется отбор, при котором генеральная совокупность механически делится на столько групп, сколько объектов должно пойти в выборку, и из каждой группы отбирают по одному объекту.

При серийном отборе объекты отбирают сериями, а не по одному.

На практике применяют и комбинированные методы.

Статистическое распределение выборки

Пусть из совокупности Х извлечена выборка х1, х2,… хn. Наблюдаемые значения хi называются вариантами.

Последовательность вариант, записанных в возрастном порядке, называется вариационным рядом.

Пример

Методы построения точечных оценок

1. Метод моментов (метод Пирсона)

По этому методу приравниваются теоретические и эмпирические моменты СВ.

Метод моментов отличается простотой, однако оценки, найденные этим методом, как правило, являются смещенными и малоэффективными.

Пример

При снятии показаний измерений прибора десятые доли оцениваются на глаз наблюдателя. 6 наблюдателей считывание и получило следующие данные (в десятых долях шкалы): 4, 2, 3, 5, 3, 1. Предположим, что ошибка отсчета по шкале является СВ, имеющей равномерный закон распределения. Требуется, пользуясь методом моментов, найти точечные оценки параметров a и b равномерного закона распределения.

не уверена!!

1. Метод максимального правдоподобия (МП)

Из генеральной совокупности произведена выборка объема n

Пусть Х – дискретная СВ, закон распределения зависит только от одного параметра (например распределение по закону Пуассона).

Будем рассматривать результаты выборки как реализацию n-мерной СВ (Х1, Х1,… Хn).

- функция правдоподобия.

Если СВ непрерывна, то .

При оценивании неизвестного параметра исходят из эмпирического правила: событие, более вероятное, происходит чаще, чем событие, менее вероятное. Поэтому в качестве оценки выбирается такая функция , которая максимизирует функцию правдоподобия L.

(3)

Поскольку максимум функции L и максимум совпадает, то на практике удобнее искать .

У метода максимального правдоподобия есть ряд преимуществ: он приводит к асимптотически эффективным и состоятельным оценкам, но оценки являются смещенными и сама система уравнений  (3) является громоздкой.

Пример

Пусть СВХ распределена по закону Пуассона. m изменяется от 0 до n. Можно считать, что СВХ принимает значения .

Построим функцию правдоподобия

Найдем производную

2. Метод наименьших квадратов

По методу наименьших квадратов требуется таким образом подобрать коэффициенты функции так, что сумма квадратов разности между точками была минимальной.