ФИТР БНТУ – Портал Студентов

14.Многомерные случайные величины(СВ)

Рассмотрим двумерную СВ. Законом распределения наз-я соотношение, связывающее значение, которое принимает СВ с соответствующими вероятностями.

       x    x1         x2………….xn

y 

y1          P11          P12 ……P1N      

y2          P21          P22 ……P2N      

ym         Pm1          Pm2 ……Pmn

x    x1                 x2……….. ……xn

y    y1                 y2……….. ……ym

     ;  i=1…n;  j=1..m.

Интегральная ф-ия распределения СВ.

F(x,y)=P(X<x,Y<y);

F(x1,x2,….,xn)=P(X1<x1,X2<x2,…,Xn<xn);

Основные св-ва интегральной ф-ии:

1. Значение ф-ии  0<F(x,y)<=1;

2.Функция неубывающая по любому из элементов;

3. Предельное соотношение

;  ;  ;  .

Дифференциальная ф-ия распределения СВ.

P(x<X<x+?x, y<Y<y+?y)=F(x+?x, y+?y)-F(x, y+?y)-(F(x+?x,y)-F(x,y))=

Основные св-ва :

1. F(x,y)=;

2.Условие нормировки  

3. Диффер. Ф-ия неотрицательна f(x,y)>=0

Числовые характеристики ДСВ.

Корреляционный момент двумерной СВ

Теорема: корреляционный момент 2-ух независимых СВ x и y равен 0.

Док-во:  если независимы x,y , то независимы x-M(x) и y-M(y). По св-ву мат. ожидания Коэффициент корреляции:   .

15.Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

Пусть СВ X принимает только неотрицательные значения и у неё есть матем. Ожидание M(x), то какова бы ни была положительная величина ξ той же размерности, что и X, всегда выполняется ;

Док-во:     проведем док-во только для непрерывных СВ. P(X)=0,X<0;   P(X)>=0,X>=0;

;

;

;; .

Неравенство Чебышева.

Какаво бы не было положительное число для любой СВ X, дисперсия которой конечна справедливо неравенство ;

.

16. Т.Чебышева. Т.Бернули.

Последовательность чисел наз. равномерно ограниченной, если сущ. такая константа M ,   . Если - последовательность попарно независимых СВ, у каждой из которых есть мат. ожидание и  (дисперсии равномерно ограничены), то предел (6) -предел по вероятности.

Док-во. По условию последовательность дисперсии равномерно ограниченна, т.е. , .

Рассмотрим вспомогательные СВ . У нее есть мат. ожидание

удовл. требованиям неравенства Чебышева. Применяя неравенство (6)

  (8)                                                           

  (9)             

Следствие из теоремы : если - последов независим. СВ имеющих одно и то же мат. ожидание и , то неравенство .(9). Примет вид (10)        

Следствие из теоремы важно на практике, если нужно измерить некоторую величину, истинное значение которой , проводят измерений этой величины. Если при измерениях отсутствуют системные ошибки, то можно считать что дисперсии ограничены, тогда среднее арифм. значение рез-ов измерений с ростом n прибл. к истинному значепию измеряемой величины m . Можно положить, что .

Т.Бернули

(1)        - относительная частота или частность (сходится к вер-ти)

Док-во: Пусть - число появления события A в первом испытании.

,  

Мы находимся в условиях т.Чебышева

;

т.Бернули явл. статистическим определением вероятности.

17. Теорема Ляпунова:

Можно доказать что,  если – нормально распределенные случайные величины, то их сумма также норм. распред. СВ с мат. ожиданием   ,

       Обобщением явл. т. Ляпунова :

Пусть  – независимые СВ, у каждой из которых мат. ожидание

и, абсолютный центральный момент третьего порядка и выполняется , .(3). то для суммы выполняется следующее   .(4).

Следствие: если все и одинаковые, тораспределена асимптотически по нормальному закону.

Физ. смысл условий, при кот. сумма будет распространяться практически по норм закону, сост. в том, что удельный вес каждого слаг. должен 0 при увеличении числа слагаемых.