ФИТР БНТУ – Портал Студентов

1. Определение вероятности.

Вероятностью Р(А) наз. числовая функция Р, определенная на сигма-алгебре множества F и удовлетворяющим следующим 3 аксиомам:

1. Р(А)≥0;
2. Р(Ω)=1;
3. Если есть А1,А2,…,Аn, то вероятность суммы

Примечание 3-я аксиома равносильна аксиоме непрерывности .

Классическое определение:

Вероятностью события А наз. отношение числа элементарных исходов m, благоприятствующих наступлению события А к общему числу возможных исходов n.

;1-ый недостаток: в этом определении число исходов конечно.

Геометрическое определение:

;  отношение меры(длина, площадь, объём) к мере.

; (отношение длины к длине);  ; (отношение площадей).

Статистическое определение:

; общее число испытаний;число опытов, в которых наступило событие А; относительная частота наступления события А.

Теорема о вероятности суммы событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) – формула вероятности суммы произвольных событий.

Вероятность суммы несовместных событий

(А⋅В=∅; Аi⋅Aj=∅ i≠j).

P(A+B)=P(А)+Р(В)

Для попарно несовместных событий:

Р(А1+А2+…+Аn)=P(А1)+P(А2)+…+ P(Аn);

Перестановки.

Перестановками наз. комбинации из n элементов, отличающихся друг от друга лишь местоположением элементов.

n=2 – ab,ba; n=3 – abc, acb, bac, bca, cba, cab.

Pn=n!

Сочетания.

Сочетания из n элементов по m элементов наз. комбинации, отличающихся друг от друга лишь составом элементов.

Пример: Из 12 разведчиков в разведку надо отправить 3.

Размещения.

Размещениями наз. комбинации из n элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга не только составом элементов, но и их месторасположением.

Пример. На разведку минного поля из 12 разведчиков надо послать 3.

2. Условная вероятность. Независимое событие. Формула умножения вероятности.

Условная вероятность.

условная вероятность(вероятность события А при условии, что произошло событие В).

;

Пусть произведению событий А и В благоприятствуют m исходов, событию В – k исходов. Общее число возможных и равновозможных исходов = n.

    ;   ;

.

Независимые события.

Событие А и В наз. независимыми, если P(AB)=P(A)P(B);

События наз. попарно независимыми, если для любой пары P(Ai,Aj)=P(Ai)P(Aj), .

События наз.  A1,A2…An независимыми в совокупности, если P(A1,A2….An)=P(A1)P(A2)..P(An);

Вероятность наступления хотя бы одного события.

Пусть события А1,А2..Аn независимы в совокупности, тогда

ж

Если вероятность события обозначить , то вер-ть противоположного события обозн. .

P(A)=1-q1q2..qn.

Когда А1…Аn равновероятны, то .

3. Ф-ла полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть события Н1, Н2, … ,Нn, во-первых, попарно не совместны. , и во-вторых, они образуют полную группу событий.

, тогда Н1, Н2, … ,Нn наз. гипотезами. Пусть некоторое событие А может наступить одновременно с какой-то из гипотез Н1, Н2, … ,Нn. Поэтому А=АН1+АН2+…+АНn. P(A)=P(H1A+H2A+…+HnA)=P(H1A)+ P(H2A)+…+ P(HnA)=

P(H1)P(A/H1)+ P(H2)P(A/H2)+… P(Hn)P(A/Hn).

. (1)

Формула Байеса.

Событие А свершилось. В ф-ле (1) считается вероятность до опыта (априорная), в ф-ле Байеса происходит пересчет гипотезы после опыта (апосториорная).

.

4.Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Формула Пуассона.

Пусть проводится серия из n одинаковых испытаний, в каждом из кот. событие А может произойти с одной и той же вероятностью р (в-ть успеха)  и не произойти с одной и той же вероятностью q (в-ть неудачи) q=1-p. Наступление либо не наступление события А в n-ом испытании не зависит от исхода предыдущих испытаний.

Pn(m) из n испытаний событие произойдет ровно n раз.

— формула Бернулли.

Pn(0)+Pn(1)+ Pn(2)+…+ Pn(m)+…+ Pn(n)=(q+p)n=1.

При помощи этой формулы событие произойдет больше m раз: Pn(m+1)+ Pn(m+2)+…+ Pn(n).

Формула Бернулли применяется, когда n — невелико (не больше 10). Если n>10, то на практике применяют: локально-интегральную теорему Муавра-Лапласа, а также формулу Пуассона.

Формула Пуассона

n- велико, порядка сотен и тысяч.

p- мало, порядка сотых и тысячных.

, где ; .

5.Наивероятнейшее число наступления события.

Вероятность можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента m.

Существует такое значение аргумента , при котором эта функция принимает наибольшее значение

np-mp>mq+q

m(q+p)<np-q, где q+p=1

m<np-q

Вывод при таких m при таких m функция возростает.

И наоборот при

m>np-q

, то есть при таких m функция убывает, то есть действителен один при котором функция достигает max значения

По смыслу должны выполняться два неравенства

Распишем 2-е неравенство

6. Локальная теорема и интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Локальная теорема.

Применяется, когда 0<P<1 или не слишком близко к 0 или 1.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

,  i=1,2,3,…

– функция Лапласа (интеграл ошибок, интеграл вероятностей)

Пример  300 дет. за смену

Р(1-ого сорта)=0.75 q=0.25

а) 225 штук  б) от 210 до 240

а) 

б) ;   ;

7. СВ. Функции распределения и их свойства.

   СВ наз. величины к-рые могут принимать те или иные значения заранее до опыта неизвестно какие именно. Различают дискретные и непрерывные СВ.

   Дискретные СВ.

Значения обознач х1,х2,…,хn,…

  Всякое описание значений, к-рые может принимать СВ и соответствующие этим значениям вероятности наз. законом распределения СВ.

Для дискретной СВ:

;

Пример:

  Вер. Того что в библиотеке нужная ему книга свободна равна 0,3. В городе 4 библиотеки. СВХ – это число библиотек к-рое посетит студент. Составить з-н распределения СВ.

Ф-ция распределения СВ.

Ф-цией распределения или интегральной ф-цией наз. F(X)=P(X<x). Вер.того вер.Х меньше чем х:

Свойства:

1.

2.F(X)-функция неубывающая

                        X1                    X2           X

Рассмотрим событие

;

;

-большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

3.

Замечание: если случ. Величина X непрерывна то вероятность того что СВХ примет значение х равна 0.

ж

8.Числовые хар-ки случайной величины.

Математическое ожидание:

На практике часто полное описание случайной величины не слишком важно, достаточно знать нек. параметры. Их называют числовыми характеристиками. Наиболее важная – мат. ожидание или её среднее значение (М(Х))

Дисперсия случайной величины:

Дисперсия характ. Разброс значений СВ около своего среднего значения (показатель рассеивания)

Дисперсия – мат. ожидание от квадрата отклонения СВ от своего мат. ожидания

;где

Среднее квадратичное отклонение:

Пример:и т.д.

9.Биномиальный закон распределения.

Говорят, что СВ распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …,n а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

0 – Pn(0), 1 – Pn(1), m – Pn(m), n – Pn(n)

; ;;; ;

В (1) положим t=1

;;;;

;

10.Распределение Пуассона. Равномерное распределение.

СВ распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, m,…,n, а соответсвующие вероятности по формуле Бернулли.

Равномерное распределение.

Непрерывная СВ распределена равномерно, если её плотность распределения вероятности имеет вид:

;        

11. Показательное или экспоненциальное распределение.

12. Нормальный закон распределения. Числовые характеристики.

Непрерывная случ. величина распред. по нормальному з-ну, если плотность распределения или

13. Ф-ция Лапласа и ее связь с интегр. ф-цией нормального распределения.

(1)

Осн. св-ва ф-ции Лапласа.

1. Т. к. ­­— непрерывна, то интеграл (1) существует при любых х;
2. , то Ф(х) явл. Возрастающей;
3. Функция Ф(х) — нечетная;
4. Ф(0)=0.

                 ½

                 -1/2                        

Вероятность попадания в интервал длиной в

есть практически достоверное событие.